1引言

近年來，光學(xué)自由曲面在學(xué)術(shù)界被炒的火熱，很多光學(xué)系統(tǒng)中都報(bào)道了自由曲面的應(yīng)用。然而，到底什么是自由曲面，它的優(yōu)點(diǎn)是什么，可能很多人還不清楚。隨著自由曲面的應(yīng)用逐漸普及，我們有必要對(duì)它有一個(gè)較為客觀的認(rèn)識(shí)，從而在工作中做到備無患。

2光學(xué)自由曲面的定義

首先從常見的光學(xué)表面說起，常見的光學(xué)表面，包括平面、球面、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的非球面和柱面等，這類表面都不屬于自由曲面的范疇。按照自由曲面的定義，自由曲面是指不具有軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱或平移對(duì)稱約束的光學(xué)曲面，如此以來，自由曲面的一大特點(diǎn)就是不對(duì)稱，不以某個(gè)旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，也不以某個(gè)截面對(duì)稱。

自由曲面*早應(yīng)用在照明領(lǐng)域，隨著單點(diǎn)金剛石車削工藝的發(fā)展，人們可以制造出各類曲面的模具出來，有了模具，就可以通過模壓或者注塑的工藝，生產(chǎn)出滿足要求的光學(xué)曲面。與傳統(tǒng)的元件相比，自由曲面有更多的參數(shù)自由度，因此可以實(shí)現(xiàn)更緊湊的空間、更大的光學(xué)視場(chǎng)和更少的系統(tǒng)重量，對(duì)于光學(xué)系統(tǒng)的功能擴(kuò)展起到了促進(jìn)作用。在光學(xué)成像領(lǐng)域，自由曲面在天文觀測(cè)和空間光學(xué)系統(tǒng)中有較多的應(yīng)用，在一些手機(jī)鏡頭中，也加入了自由曲面的元件，以達(dá)到矯正像差的效果。

3光學(xué)自由曲面的常見類型

用于光學(xué)成像的自由曲面，通常并不是毫無規(guī)律的曲面，而是有方程和參數(shù)去定義和描述的，在本節(jié)中，我們介紹實(shí)際中常見的光學(xué)自由曲面的類型。

A、離軸非球面

按照自由曲面的定義，從旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的非球面上，偏軸切下來的一塊非球面，即我們通常所說的離軸非球面，就屬于自由曲面的范疇。離軸非球面的形狀可以是圓形的，也可以是方形的。

離軸非球面，是在原來非球面方程的基礎(chǔ)上，多了一個(gè)離軸量或離軸角的指標(biāo)，它可以通過數(shù)控研磨和拋光的方式做加工。

B、復(fù)曲面（TORUS）

復(fù)曲面又稱為輪胎面，它的形狀就像是從汽車輪胎上取下的一塊區(qū)域一樣，在X和Y兩個(gè)方向上都是曲面，在兩個(gè)相互垂直的截面上，有兩個(gè)不同的曲率半徑值。在光學(xué)系統(tǒng)中，復(fù)曲面具有獨(dú)特的用途，如作為變形系統(tǒng)中的變形光學(xué)元件，或者紅外熱像儀中的掃描元件等，在極紫外光譜儀中，復(fù)曲面作為前置鏡，可以收集到更大的光通量，一個(gè)復(fù)曲面的形狀如下圖所示：

設(shè)定曲面在水平X方向的曲率半徑為Rx，二次系數(shù)為Kx，在水平Y(jié)方向的曲率半徑為Ry，二次系數(shù)為Ky，則復(fù)曲面的表達(dá)式可表示為：

C、XY 多項(xiàng)式自由曲面

XY多項(xiàng)式通常是在非球面的基礎(chǔ)上，增加x和y的多項(xiàng)式方程而得到的曲面，多項(xiàng)式方程的形式可以是任意的，包括線性、二次、三次以及更高階的多項(xiàng)式。這種曲面的方程通常多個(gè)參數(shù)來控制，通過改變參數(shù)的取值可以得到不同形狀的曲面。

D、Zernike多項(xiàng)式自由曲面

Zernike多項(xiàng)式的基函數(shù)在單位圓域內(nèi)是連續(xù)正交完備的，它的各項(xiàng)與光學(xué)檢測(cè)中的像差形式對(duì)應(yīng)，并且正交性的存在使得各種像差系數(shù)的大小與擬合使用的項(xiàng)數(shù)無關(guān)，以上性能使得它是自由曲面較為理想的表述方式，被廣泛地應(yīng)用于成像光學(xué)設(shè)計(jì)中。 以二次曲面上疊加 Zernike多項(xiàng)式得到的口徑為 D的自由曲面，其矢高表達(dá)式如下：

式中，**項(xiàng)為二次曲面部分，k為圓錐常數(shù)，c為曲率，r為x和y的平方和之根，**項(xiàng)為Zernike多項(xiàng)式部分，Ai為Zernike多項(xiàng)式系數(shù) ，Zi為Zernike多項(xiàng)式 ，ρ為歸一化半徑，即r/(D/2)，φ 為幅角。

E、Q 多項(xiàng)式自由曲面Q 多項(xiàng)式自由曲面是由美國(guó) QED 公司的 Forbes提出的一種自由曲面,它是從 Forbes提出的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱 Q 多項(xiàng)式曲面發(fā)展而來。它的面形系數(shù)可以直接用來表征曲面相對(duì)于*佳擬合球面的矢高偏差梯度,可以用于自由曲面的公差分析,使光學(xué)設(shè)計(jì)和加工檢測(cè)難度的評(píng)價(jià)可以同時(shí)進(jìn)行,從而避免了設(shè)計(jì)后再進(jìn)行加工評(píng)價(jià)的繁瑣過程。Q多項(xiàng)式的表達(dá)式如下：

F、非均勻有理B樣條自由曲面(Non-Uniform Rational B-Splines, NURBS)

NURBS曲面通過控制頂點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)、基函數(shù)以及各點(diǎn)的權(quán)重來描述曲面,是一種參數(shù)化的描述曲面方式。它是國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織頒布的工業(yè)產(chǎn)品的數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn)STEP中,定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的**數(shù)學(xué)方法。調(diào)節(jié) NURBS的每一個(gè)控制點(diǎn)或者其權(quán)重只影響該點(diǎn)附近的面形，因而NURBS也是一種局部面型可控的自由曲面。該種曲面的表達(dá)式較復(fù)雜，如下式所示：

NURBS的性質(zhì)優(yōu)良,在照明領(lǐng)域已有成功的應(yīng)用。但是其變量數(shù)太多使得其光線追跡極為復(fù)雜，追跡時(shí)間長(zhǎng)、難以優(yōu)化，目前在成像領(lǐng)域中的應(yīng)用較少。

4結(jié)語

在本文中，我們對(duì)光學(xué)自由曲面的定義和常見的類型做了介紹，自由曲面是不具有軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱或平移對(duì)稱約束的光學(xué)曲面，因此無法用傳統(tǒng)的平、球面加工方法來加工，但由于它可以具備更多的設(shè)計(jì)自由度，因此在對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的尺寸和非成像性能要求越來越高的場(chǎng)合得到了較多的應(yīng)用。文中介紹了光學(xué)自由曲面的常見類型，包括離軸非球面、復(fù)曲面、XY多項(xiàng)式自由曲面、Zernike多項(xiàng)式自由曲面、Q多項(xiàng)式自由曲面和NURBS自由曲面等，以使得大家對(duì)這些自由曲面的表達(dá)式有初步的了解。